Разве участковый имеет право заходить в квартиру без соответстующих документов?

Да нет. права не имеет. состав правонарушения образует только пребывание без регистрации в срок более 90 суток, а это недоказуемо. дверь открывать не надо, а если будет настаивать — вызывать наряд "неизвестный ломится в квартиру". если наряд успеет приехать (а они не торопятся) — у участкового при правильном подходе больше не будет желания так делать. приехавшему наряду объяснить, что находитесь в квартире с разрешения собственника (квартиросъемщика) , периодически приезжаете. если собственник на вашей стороне и это подтверждает — при желании можно устроить участковому неполное служебное.
ну и вопрос — что за город? в казани или уфе, например, все может быть сложнее.