Может ли мать подать на алименты?

Может — и выиграет дело. ведь у вашего мужчины нет официального дохода и он не может апеллировать к тому, что у него не хватает средств для содержания матери (раз не работает и не умирает с голоду, стало быть деньги откуда-то берет — сочтет суд) .
поскольку мать пенсионер, то доказывать свою нетрудоспособность она не обязана, а доказать свою нуждаемость несложно — достаточно принести справку от врача, где он выписал курс каких-нибудь дорогих витаминов и рекомендацию отдохнуть у моря.

вам нужно взять его к себе на работу (официально) — назначить ему небольшую официальную зарплату (тысяч 8-10, чтобы больше мрот и не вызвало подозрений) .

тогда в суде мужчина скажет, что его материальное положение плачевно, зарплата маленькая (и есть подтверждающие это документы) и его доход меньше, чем доходы матери — и суд откажет матери в алиментах.